선형대수학 대각화(Diagonalization) 이해하기

먼저 대각화(Diagonalization)를 이해하기 전에 대각 행렬을 정의하자. 일단 행렬 $A$ 를 $n \times n$ 행렬이라 하자.

대각 행렬은 행렬의 대각 성분을 제외하고는 0 인 행렬이다. 가령,

$A = \begin{bmatrix}a_1 & 0 & 0 \\0 & a_2 & 0 \\ 0 & 0& a_3\end{bmatrix}$ 는 대각 행렬이다.

행렬의 대각화는, 이처럼 대각 행렬을 찾는것이다. 가령 예시의 A는 이미 대각화가 된 행렬이다.

말이 헷갈리는데, 잠시 책에서 본 $A = PDP^{-1}$ 같은 식은 잊어두자. 우리는 행렬 A를 대각행렬로 표현하고 싶다. 이 과정을 대각화라 한다.

이것을 이해하기 위해 알아야할 것은 basis에 대한 개념이다. 이미 알고있다고 가정하고 넘어가자.

우리는 암묵적으로 standard basis를 이용하고 있다. 가령 행렬 $B = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}$ 라고 했을 때 우리는 이 행렬을 이렇게 이해할 수 있다.

벡터 (1,1)를 이 행렬을 통해 변형시키면, (3,7)이 나오게 된다.

그런데! 지금까지는 당연히 (1,0),(0,1) 이라는 standard basis를 기반으로 생각을 했었다. 하지만 다른 기저를 사용한다면 저 행렬은 다르게 표현되야만 한다.

가령 (1,1)은 (1,0),(0,1) 이라는 standard basis 위에서 (1,1) 이지만, (1,1) 이 만약 (1,1),(1,-1) 이라는 어떤 특정한 basis에서는 (2,0) 을 나타나게 된다.

즉 말하고싶은 것은 우리가 어떠한 벡터를 표현할 때 어떤 특정한 basis위에서 그 벡터를 나타나게 되면 전혀 다른 벡터가 될 수 있다는 것이다.

자 이제 만약 (2,4) 이라는 벡터를 (1,1),(1,-1)이라는 basis 위에서 표현하고 싶다고 가정해보자.

그러면 a(1,1) + b(1,-1) = (2,4) 이 되어야 하므로 a = 3, b = -1이 된다.

즉 $(2,4) = (3,-1)_{\beta}$ 가 된다. 여기서 $\beta$는 우리가 정의한 (1,1),(1,-1)이라는 basis를 말한다.

다시 행렬로 돌아오면 마치 벡터가 다른 basis에서 다르게 표현되는 것처럼 행렬 또한 다른 basis에서는 다르게 표현된다.

마지막으로 정리하자면 행렬의 대각화라는 것은 어떤 특별한 basis를 잘 찾아서 그 basis 를 기반으로 행렬을 표현했을때 그 행렬이 대각행렬 로 표현되게 하는 것을 말한다.

따라서 대각화를 한다는 것은, 그러한 특별한 basis를 찾는다는 것이고 이 basis가 eigenvector 들의 모임이 된다는 것을 알 수 있다. (나중에 포스팅)

(따라서 대각화를 하려면 independent한 eigenvector들이 있어야한다!)